جواب فعالیت صفحه 23 فصل دوم ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: بین هر دو عدد حقیقی، بی‌نهایت عدد دیگر وجود دارد. برای انتخاب پنج عدد بین ۱ و ۲، ساده‌ترین راه استفاده از اعداد اعشاری است. **پنج عدد پیشنهادی:** می‌توانیم اعداد زیر را انتخاب کنیم: $1.2, 1.4, 1.5, 1.6, 1.8$ این اعداد همگی بزرگتر از ۱ و کوچکتر از ۲ هستند. **نمایش روی محور اعداد:** برای نمایش این اعداد بر روی محور، ابتدا فاصله‌ی بین دو عدد صحیح ۱ و ۲ را به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم. هر قسمت نمایانگر یک‌دهم ($0.1$) است. * **1.2:** این عدد روی دومین علامت بعد از ۱ قرار می‌گیرد. * **1.4:** این عدد روی چهارمین علامت بعد از ۱ قرار می‌گیرد. * **1.5:** این عدد دقیقاً در وسط فاصله‌ی بین ۱ و ۲ قرار می‌گیرد. * **1.6:** این عدد روی ششمین علامت بعد از ۱ قرار می‌گیرد. * **1.8:** این عدد روی هشتمین علامت بعد از ۱ قرار می‌گیرد.

پاسخ تشریحی: برای نمایش عدد $1.4$ بر روی محور اعداد، باید موقعیت آن را نسبت به اعداد صحیح نزدیکش مشخص کنیم. ۱. عدد $1.4$ بین دو عدد صحیح **۱** و **۲** قرار دارد. ۲. این عدد برابر با **۱ و چهاردهم** ($1 + \frac{4}{10}$) است. **روش نمایش روی محور:** برای نمایش دقیق، فاصله‌ی بین عدد ۱ و عدد ۲ را به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم. هر قسمت نشان‌دهنده‌ی $0.1$ است. سپس از روی عدد ۱، **چهار قسمت** به سمت راست حرکت کرده و آن نقطه را علامت می‌زنیم. این نقطه، نمایش تقریبی $ \sqrt{2} $ یعنی $1.4$ است.

پاسخ تشریحی: این سوال به بررسی ماهیت اعداد گنگ (اصم) و نحوه‌ی نمایش تقریبی آنها در ماشین حساب می‌پردازد. * **چرا رقم آخر در ماشین حساب ۸ رقمی و ۱۲ رقمی متفاوت است؟** * **دلیل: گرد کردن (Rounding)**. مقدار واقعی $ \sqrt{2} $ برابر $ 1.41421356... $ است. ماشین حسابی که فقط ۸ رقم را نشان می‌دهد (مثلاً ۱ رقم صحیح و ۷ رقم اعشار)، به رقم هشتم اعشار (که ۶ است) نگاه می‌کند. چون این رقم بزرگتر از ۵ است، رقم هفتم (یعنی ۵) را به ۶ **گرد می‌کند** و نتیجه را $1.4142136$ نشان می‌دهد. اما ماشین حساب ۱۲ رقمی دقت بیشتری دارد و رقم هفتم را به درستی (یعنی ۵) نمایش می‌دهد. * **چرا این تفاوت بین ماشین حساب ۱۰ و ۱۲ رقمی دیده نمی‌شود؟** * ماشین حساب ۱۰ رقمی، تا ۹ رقم اعشار را نشان می‌دهد: $1.414213562$. رقم دهم اعشار ۳ است. چون ۳ کوچکتر از ۵ است، رقم نهم گرد نمی‌شود. ماشین حساب ۱۲ رقمی نیز همین ارقام را به درستی نشان می‌دهد. بنابراین در این محدوده، بین دو ماشین حساب اختلافی به خاطر گرد کردن به وجود نمی‌آید. * **آیا در نمایش ۱۲ رقمی تناوب دیده می‌شود؟** * **خیر**. در رشته‌ی ارقام $1.41421356237$ هیچ الگوی تکرارشونده‌ی منظمی مشاهده نمی‌شود. * **آیا در نمایش ۱۵ رقمی تناوب دیده می‌شود؟** * **خیر**. در رشته‌ی ارقام $1.414213562373095$ نیز هیچ تناوبی وجود ندارد. **نتیجه‌گیری کلی:** عدد $ \sqrt{2} $ یک **عدد گنگ (اصم)** است. ویژگی اصلی اعداد گنگ این است که نمایش اعشاری آنها **بی‌پایان و غیرمتناوب (بدون تکرار منظم)** است. بنابراین، هرگز در ارقام اعشاری آنها الگوی تکراری پیدا نخواهیم کرد.